Question

【題目】綜合題
（1）如圖1，銳角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于F，連DE，求證：DFDA=DBDC；

（2）如圖2，若∠BAC=90°，AD⊥BC于D，F為線段AD上一點，在AD延長線上找一點G使AD2=DFDG，請畫出圖形找出點G并加以證明；

（3）如圖3，在（1）的條件下，若∠ABC=45°，EF=1，EC=3，直接寫出BD長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：如圖1中，

∵AD、AE是△ABC的高，

∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，

∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，

∴∠DBF=∠DAC，

∴△DBF∽△DAC，

∴ = ，

∴DFDA=DBDC．

（2）解：如圖2中，在DC上截取DM，使得DM=DA，

連接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延長線于G．則AD2=DFDG．

理由：∵∠MDF=∠MDG=∠FMG=90°，

∴∠DMF+∠DMG=90°，∠DMG+∠G=90°，

∴∠DMF=∠G，

∴△DMF∽△DGM，

∴ = ，

∴DM2=DFDG，

∵AD=DM，

∴AD2=DFDG．

（3）解：如圖3中，連接FC．

∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，

∴BD=AD，

∵∠DBF=∠CAD（已證），∠BDF=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴DF=DC，

在Rt△EFC中，FC= = = ，

∴DF=DC= ，設BD=AD=y，則AC= = ，

∵△EAF∽△DAC，

∴ = ，

∴ = ，

解得y=2 或 （舍棄），

∴BD=2 ．

【解析】（1）先證明∠DBF=∠DAC，然后再證明△DBF∽△DAC，最后，依據相似三角形對應邊成比例求解即可；
（2）在DC上截取DM，使得DM=DA，連接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延長線于G．則AD2=DFDG．接下來，再證明△DMF∽△DGM即可解決問題；
（3）連接FC．依據ASA可證明△BDF≌△ADC，根據全等三角形的性質定理可得到DF=DC，接下來，依據勾股定理可求得DF、DC的長，設BD=AD=y，則可得到AC的長，最后，依據△EAF∽△DAC，可得到關于y的比例式，從而可求得y的值.
【考點精析】掌握相似三角形的應用是解答本題的根本，需要知道測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．