Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．

（1）尺規作圖：作出將△PAC繞點A逆時針旋轉60°后所得到的△P′AB（不要求寫作法，但需保留作圖痕跡）．

（2）求點P與點P′之間的距離及∠APB的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）PP′＝6，∠APB＝150°．

【解析】

（1）作等邊三角形APP′，連接P′B，則△P′AB是所求作的三角形；

（2）根據旋轉的性質得到∠PAP′＝60°，PA＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，利用等邊三角形的判定方法得到△PAP′為等邊三角形，再根據等邊三角形的性質有PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，由于PP′2+PB2＝P′B2，根據勾股定理的逆定理得到△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，則∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．

解：（1）將△PAC繞點A逆時針旋轉60°后所得到的△P′AB如圖：

（2）如圖，∵△PAC繞點A逆時針旋轉60°后，得到△P′AB，

∴∠PAP′＝60°，PA＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，

∴△PAP′為等邊三角形，

∴PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，

在△BPP′中，P′B＝10，PB＝8，PP′＝6，

∵62+82＝102，

∴PP′2+PB2＝P′B2，

∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，

∴∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．