Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點P（2，2），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y=x交于點A，連接CD，直線CD與直線y=x交于點Q，當△OPC≌△ADP時，則C點的坐標是_____，Q點的坐標是_____．

Answer 1

【答案】（0，4+2）（2+2，2+2）

【解析】

過P點作x軸的平行線交y軸于M，交AB于N，如圖，設C（0，t），OP=2，OM=BN=PM=2，CM=t﹣2，利用旋轉性質得PC=PD，∠CPD=90°，再證明△PCM≌△DPN得到PN=CM=t﹣2，DN=PM=2，于是得到D（t，4），接著利用△OPC≌△ADP得到AD=OP=2，則A（t，4+2），于是利用y=x圖象上點的坐標特征得到t=4+2，所以C（0，4+2），D（4+2，4），接下來利用待定系數求出直線CD的解析式為y=（1﹣）x+4+2，則通過解方程組可得Q點坐標．

過P點作x軸的平行線交y軸于M，交AB于N，如圖，設C（0，t），∴P（2，2），∴OP=2，OM=BN=PM=2，CM=t﹣2．

∵線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，∴PC=PD，∠CPD=90°，∴∠CPM+∠DPN=90°，

而∠CPM+∠PCM=90°，∴∠PCM=∠DPN，

在△PCM和△DPN中，∵，∴△PCM≌△DPN，∴PN=CM=t﹣2，DN=PM=2，∴MN=t﹣2+2=t，DB=2+2=4，∴D（t，4）．

∵△OPC≌△ADP，∴AD=OP=2，∴A（t，4+2），

把A（t，4+2）代入y=x得：t=4+2，∴C（0，4+2），D（4+2，4），

設直線CD的解析式為y=kx+b，

把C（0，4+2），D（4+2，4）代入得：，解得：，∴直線CD的解析式為y=（1﹣）x+4+2，

解方程組，得：，∴Q（2+2，2+2）．

故答案為：（0，4+2），（2+2，2+2）．