Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連接EF，給出下列四個結論，其中正確結論的序號是（　　）

①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③△APD一定是等腰三角形；④PD＝EC．

A.①②④B.②④C.①②③D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接PC，由正方形的性質得出∠ABP＝∠CBP＝45°，然后由SAS證明△ABP≌△CBP，得出AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，由矩形的性質得出EF＝PC，PF＝EC，再判斷出△PDF是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質解答即可，△APD只有點P為BD的中點或PD＝AD時是等腰三角形，即可得出結果．

解：連接PC，如圖所示：

在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，

∵在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴四邊形PECF是矩形，

∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，

∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①②正確；

∵PF⊥CD，∠BDC＝45°，

∴△PDF是等腰直角三角形，

∴PD＝PF，

∵矩形的對邊PF＝EC，

∴PD＝EC，故④正確；

只有點P為BD的中點或PD＝AD時，△APD是等腰三角形，故③錯誤；

綜上所述，正確的結論有①②④，

故選：A．