Question

【題目】如圖，在△OAC中，以點O為圓心、OA長為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于點B，連接AB交OC于點D，∠CAD=∠CDA．

（1）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若OA=10，OD=2，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】（1）AC是⊙O的切線（2）線段AC的長為24

【解析】試題分析：（1）根據已知條件“∠CAD=∠CDA”、對頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據等腰三角形OAB的兩個底角相等、直角三角形的兩個銳角互余的性質推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切線；

（2）根據“等角對等邊”可以推知AC=DC，所以由圖形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切線的性質可以在Rt△OAC中，根據勾股定理來求AC的長度．

試題解析：解：（1）AC是⊙O的切線．證明：∵點A，B在⊙O上，∴OB=OA，∴∠OBA=∠OAB，∵∠CAD=∠CDA=∠BDO，∴∠CAD+∠OAB=∠BDO+∠OBA，∵BO⊥OC，

∴∠BDO+∠OBA=90°，∴∠CAD+∠OAB=90°，∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半經，∴AC是⊙O的切線；

（2）設AC的長為x．∵∠CAD=∠CDA，∴CD的長為x．由（1）知OA⊥AC，

∴在Rt△OAC中，OA2+AC2=OC2，即102+x2=（2+x）2，∴x=24，

即線段AC的長為24．