Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，CE平分∠ACB，交AB于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：△PCE是等腰三角形.

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC

∵PD切⊙O于點C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）證明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠CAO+∠ACE=∠PCB+∠BCE，
∴∠PEC=∠PCE，
∴PC=PE，
即△PCE是等腰三角形．
【解析】（1）連接OC ，根據切線的性質得出OC⊥PD．又AD⊥PD，從而得出OC∥AD．根據二直線平行內錯角相等得出∠ACO=∠DAC．根據等邊對等角得出∠ACO=∠CAO，根據等量代換得出∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）根據直角三角形兩銳角互余得出∠DAC+∠ACD=90°．根據直徑所對的圓周角是直角得出∠ACB=90°．進而根據平角的定義得出∠PCB+∠ACD=90°，根據同角的余角相等得出∠DAC=∠PCB．根據等量代換得出∠CAO=∠PCB．根據角平分線的定義得出∠ACE=∠BCE，根據等式的性質得出∠PEC=∠PCE，再根據等角對等邊得出PC=PE，即△PCE是等腰三角形 。