Question

如圖1，拋物線經過A（-1，0），C（3，-2）兩點，與軸交于點D，與軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線（）將四邊形ABCD面積二等分，求的值；
（3）如圖2，過點E（1，1）作EF⊥軸于點F，將△AEF繞平面內某點P旋轉180°得△MNQ（點M、N、Q分別與點A、E、F對應），使點M、N在拋物線上，求點N和點P的坐標？

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) （1，－3），（1，－1）．

試題分析：把A、C兩點坐標代入即可求出a、b的值，從而確定拋物線的解析式.
（1）∵拋物線經過A（-1，0），C（3，-2），
∴，解之得：，
∴所求拋物線的解析式為：；
（2）令，解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
令x=0，可得：y=-2，
∴D（0，-2），
∵C（3，-2），
∴DC∥AB，
由勾股定理得：AD=BC=，
∴四邊形ADCB是等腰梯形，
∵D（0，-2），C（3，-2），∴取DC中點E，則E的坐標是（，-2），
過E作EF⊥AB于F，取EF的中點G，則G的坐標是（，-1），
則過G的直線（直線與AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面積二等份，
把G的坐標代入y=kx+1，得：，
∴； 

（3）設Q（m，n），則M（m＋2，n），N（m，n－1），
代入，得：，解之，得：，
∴Q（1，-2），M（3，－2），N（1，－3），
又Q的對應點為F（1，0），
∴QF的中點為旋轉中心P，且P（1，－1），
∴點N、P的坐標分別為：（1，－3），（1，－1）．