Question

【題目】已知，經過點A（－4，4）的拋物線y=ax2+bx與x軸相交于點B（－3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，過點A作AH⊥x軸，垂足為H，平行于y軸的直線交線段AO于點Q，交拋物線于點P，當四邊形AHPQ為平行四邊形時，求∠AOP的度數；

（3）如圖2，，試探究：在拋物線上是否存在點C，使∠CAO＝∠BAO？若存在，請求出直線AC解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3x；（2）90°；（3）.

【解析】

（1）將點A、B、C的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

（2）由已知A（-4，4）則可得到OA的解析式，設點P的坐標為（m，m2+3m），則點Q的坐標為（m，-m）．由題意可知QP=4，則-m-（m2+3m）=4，則可求得a的值，于是得到P（-2，-2），Q（-2，2），最后利用勾股定理的逆定理證明△OPQ為直角三角形即可；

（3）設AC交y軸于點D，根據題意證明△ABO≌△AOD，則OD=OB=3，設AC的解析式為y=px+q，將點A和點D的坐標代入求解即可．

（1）拋物線的解析式為

（2）設點P坐標為，其中

∵點A（－4，4），∴直線OA的解析式為，

從而點Q的坐標為，∴=

當四邊形AHPQ為平行四邊形時，PQ=AH=4，

即，解得，此時點P坐標為

∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45o+45o=90o.

（3）設AC交y軸于點D，由點A（－4，4）得，，

∵∠CAO＝∠BAO，，∴≌

∴，點D坐標為（0，3）

設直線AC解析式為，則

解得，，∴直線AC解析式為.