Question

【題目】在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 y=ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）與 x軸交于 A，B 兩（點 A 在點 B 左側）．

（1）當拋物線過原點時，求實數 a 的值；

（2）①求拋物線的對稱軸；

②求拋物線的頂點的縱坐標（用含 a 的代數式表示）；

（3）當 AB≤4 時，求實數 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）①x=2；②拋物線的頂點的縱坐標為﹣a﹣2；（3）a 的范圍為 a＜﹣2 或 a≥．

【解析】

（1）把原點坐標代入 y=ax2﹣4ax+3a﹣2即可求得a的值；（2）①②把拋物線解析式配成頂點式，即可得到拋物線的對稱軸和拋物線的頂點的縱坐標；（3）設 A（m，0），B（n，0），利用拋物線與 x 軸的交點問題，則 m、n 為方程 ax2﹣4ax+3a﹣2=0 的兩根，利用判別式的意義解得 a＞0 或 a＜﹣2，再利用根與系數的關系得到 m+n=4，mn= ，然后根據完全平方公式利用 n﹣m≤4 得到（m+n）2﹣4mn≤16，所以 42﹣4≤16，接著解關于a 的不等式，最后確定a的范圍．

（1）把（0，0）代入 y=ax2﹣4ax+3a﹣2 得 3a﹣2=0，解得 a=；

（2）①y=a（x﹣2）2﹣a﹣2， 拋物線的對稱軸為直線 x=2；

②拋物線的頂點的縱坐標為﹣a﹣2；

（3）設 A（m，0），B（n，0），

∵m、n 為方程 ax2﹣4ax+3a﹣2=0 的兩根，

∴△=16a2﹣4a（3a﹣2）＞0，解得 a＞0 或 a＜﹣2，

∴m+n=4，mn=， 而 n﹣m≤4，

∴（n﹣m）2≤16，即（m+n）2﹣4mn≤16，

∴42﹣4 ≤16，

即≥0，解得 a≥或 a＜0．

∴a 的范圍為 a＜﹣2 或 a≥．