Question

【題目】如圖△ABC是⊙O的內接三角形，AE是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足為D.

（1）求證：BE=CF;

（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由圓周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圓周角定理得出∠BEA=∠ACD，再由同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等，即可得出結論；

（2）證明△ABE∽△ADC，得出對應邊成比例，求出直徑AE，即可得出結論．

試題解析：（1）證明：∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵AF⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∵∠BEA=∠ACD，∴∠BAE=∠CAD，∴BE=CF；

（2）解：∵∠ABE=∠ADC=90°，∠BEA=∠ACD，∴△ABE∽△ADC，∴ ，即 ，解得：AE=，∴半徑r=．