Question

【題目】已知線段AB＝m（m為常數），點C為直線AB上一點，點P、Q分別在線段BC、AC上，且滿足CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1）如圖，若AB＝6，當點C恰好在線段AB中點時，則PQ＝　 　；

（2）若點C為直線AB上任一點，則PQ長度是否為常數？若是，請求出這個常數；若不是，請說明理由；

（3）若點C在點A左側，同時點P在線段AB上（不與端點重合），請判斷2AP+CQ﹣2PQ與1的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）PQ是一個常數，即是常數m；（3）2AP+CQ﹣2PQ＜1，見解析．

【解析】

（1）根據已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及線段的中點的定義解答；

（2）由題意根據已知條件AB＝m（m為常數），CQ＝2AQ，CP＝2BP進行分析即可；

（3）根據題意，畫出圖形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ與1的大小關系．

解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵點C恰好在線段AB中點，

∴AC＝BC＝AB，

∵AB＝6，

∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；

故答案為：4；

（2）①點C在線段AB上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m為常數），

∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m；

②點C在線段BA的延長線上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m為常數），

∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m；

③點C在線段AB的延長線上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m為常數），

∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m；

故PQ是一個常數，即是常數m；

（3）如圖：

∵CQ＝2AQ，

∴2AP+CQ﹣2PQ

＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）

＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ

＝CQ﹣2AQ

＝2AQ﹣2AQ

＝0，

∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．