Question

【題目】如圖，和是的半徑，，，是上任意一點，的延長線交于點，過點的的切線交的延長線于點．

（1）求證：；

（2）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

(1)根據切線的性質得到∠OQB+∠PQR=90°，根據垂直的定義得到∠BOA=90°，再根據對頂角相等及等角的余角相等，得到∠RPQ=∠RQP，根據“等角對等邊”得證；
(2)根據“等邊對等角”得到∠B=∠BQO，在三角形OBQ中，由∠BOA為直角，根據三角形的內角和定理可求得∠B的度數，進而求出∠QOR的度數，在直角三角形OQR中，根據30°的正切函數定義，可求出QR的值，進而得到PQ的長．

(1)連接，

∵是切線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，且，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

(2)∵，

∴，

又，

∴，

設，

又，

根據三角形內角和定理得：

，即，

解得：，即，

∴，

又，

∴為等邊三角形，即，

在直角三角形中，，，

根據銳角三角函數定義得：

．