Question

【題目】如圖所示，中，是邊上一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線于，且，連接．

（1）求證：是的中點；

（2）若，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）矩形，理由見解析；

【解析】

（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，再根據全等三角形的性質和等量關系即可求解；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易證四邊形AFBD是平行四邊形，而AB=AC，AD是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．

（1）

證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵點E為AD的中點，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中點；

（2）解：若AB=AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四邊形AFBD是矩形．