Question

12、如圖，已知在凸四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA＞OC，OB＞OD．
求證：BC+AD＞AB+CD．

Answer 1

分析：可通過作輔助線將不同線段轉化到一個或兩個三角形中，再通過線段之間的轉化進而最終得出結論．

解答：證明：在OA上截取OC′=OC，在OB上截取OD′=OD，
連接C′D′，AD′，BC′，設BC′、AD′交于E（如圖），
易證△COD≌△C′OD′（SAS），
所以CD=C′D′，
易證△AOD≌△AOD′，△COB≌△C′OB（SAS），
所以AD=AD′，CB=C′B，
在△C′D′E中，C′E+D′E＞C′D′①
在△ABE中，AE+BE＞AB②
①+②得AE+D′E+BE+C′E＞AB+C′D′，
所以AD′+BC′＞AB+CD，
所以AD+BC＞AB+CD．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及三角形的三邊關系問題，能夠熟練掌握．