Question

【題目】如圖所示，在長方形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，E為AB的中點，動點P在線段BC上以4cm/s的速度由點B向C運動，同時，動點Q在線段CD上由點C向點D運動，設運動時間為t（s）．

（1）當t=2時，求△EBP的面積；

（2）若動點Q以與動點P不同的速度運動，經過多少秒，△EBP與△CQP全等？此時點Q的速度是多少？

（3）若動點Q以（2）中的速度從點C出發，動點P以原來的速度從點B同時出發，都逆時針沿長方形ABCD的四邊形運動，經過多少秒，點P與點Q第一次在長方形ABCD的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】（1）S△EBP=16cm2；（2）經過秒，△EBP與△CQP全等；此時點Q的速度是cm/s；（3）經過9秒，點P與點Q第一次在長方形ABCD的邊AB上相遇．

【解析】

（1）直接運用直角三角形面積等于兩條直角邊乘積的一半計算即可；
（2）△EBP與△CQP全等，要分兩種情形討論：△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP；先求出t的值，再求點Q的速度；
（3）屬于追擊問題，根據等量關系：點P運動路程=點Q運動路程+12，列方程求解即可．

（1）當t=2時，BP=2×4cm=8cm

∵E為AB的中點，

∴BE=AB=×8cm=4cm，

∵長方形ABCD

∴∠B=90°

∴S△EBP=BEBP=×4×8=16（cm2）．

（2）設點Q的速度是acm/s，則BP=4t（cm），CQ=at（cm），

∴PC=（12-4t）（cm），

∵△EBP與△CQP全等，∠B=∠C=90°

∴△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP

當△EBP≌△PCQ時，PC=EB，CQ=BP

∴12-4t=4，解得t=2，

∴2a=4×2

∴a=4，與動點Q以與動點P不同的速度運動矛盾．

當△EBP≌△QCP時，CP=BP，CQ=BE

∴12-4t=4t，解得t=，

∴a=4，解得a=（cm/s）；

答：經過秒，△EBP與△CQP全等；此時點Q的速度是cm/s；

（3）設經過x秒，點P與點Q第一次在長方形ABCD的邊上相遇；

則：4x=12+x，解得：x=9

此時點P運動路程為：4×9=36（cm），∴點P在AB的中點處，

答：經過9秒，點P與點Q第一次在長方形ABCD的邊AB上相遇．