Question

【題目】問題原型：在圖①的矩形MNPQ中，點E、F、G、H分別在NP、PQ、QM、MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．

操作與探究：在圖②，圖③的矩形ABCD中，AB=4，BC=8點E、F分別在BC、CD邊上，試利用正方形網格分別作出兩圖中矩形ABCD的反射四邊形EFGH，并求出每個反射四邊形EFGH的周長．

發現與應用：由前面的操作可以發現一個矩形有不同的反射四邊形，且這些反射四邊形的周長都相等，若在圖①矩形MNPQ中，MN=3，NP=4則其反射四邊形EFGH的周長為　　．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）8；（3）10

【解析】

(1)、根據反射四邊形的含義和E、F點的位置畫出即可；(2)、根據勾股定理求出邊長，即可求出周長；(3)、延長GH交PN的延長線于點A，過點G作GK⊥NP于K，證明Rt△FPE和Rt△FPB全等，從而求出GB的長度，根據四邊形周長等于2GB得出答案．

（1）作圖如下：

（2）在圖2中，EF=FG=GH=HE==2，∴四邊形EFGH的周長為4×2=8，

在圖3中，EF=GH=，FG=HE==3，

∴四邊形EFGH的周長為2×+2×3=2+6=8．

（3）如圖4，延長GH交PN的延長線于點A，過點G作GK⊥NP于K，

∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠2=∠5．

在△FPE和△FPB中，，∴Rt△FPE≌Rt△FPB（ASA），∴EF=BF，EP=PB，

同理：AH=EH，NA=EN．∴AB=2NP=8．∵∠B=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠A=90°﹣∠3，

∴∠A=∠B．∴GA=GB．則KB=AB=4，∴GB==5，

∴四邊形EFGH的周長為：2GB=10．