Question

（2012•河口區二模）已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（-3，0）、C（0，-2）．
（1）求這條拋物線的函數表達式．
（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最小．請求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線對稱軸得到關于a、b的一個方程，再把點A、C的坐標代入拋物線解析式，然后解方程組求出a、b、c的值，即可得解；
（2）根據利用軸對稱確定最短路線的問題，連接AC交對稱軸于點P，則點P就是所求的使得△PBC的周長最小的點，然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線AC的解析式，再把x=-1代入直線解析式求出y的值，即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=-1，經過點A（-3，0）、C（0，-2），
∴

- b 2a =-1 9a-3b+c=0 c=-2

，
解得

a= 2 3 b= 4 3 c=-2

，
∴拋物線解析式為y=

2

3

x²+

4

3

x-2；

（2）如圖，連接AC，交拋物線對稱軸于點P，則點P就是所求的使得△PBC的周長最小的點，
設直線AC的解析式為y=kx+m（k≠0），
∵A（-3，0）、C（0，-2），
∴

-3k+m=0 m=-2

，
解得

k=- 2 3 m=-2

，
∴直線AC的解析式為y=-

2

3

x-2，
當x=-1時，y=-

2

3

×（-1）-2=-

4

3

，
∴點P的坐標為（-1，-

4

3

）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了待定系數法求函數解析式（包括二次函數解析式，一次函數解析式），利用軸對稱確定最短路線問題，（2）確定出點P的位置是解題的關鍵．