Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P在BA邊上從B向A運動，過作PE⊥PC，交AD于點E．

（1）如圖1，當EP＝PC時，求線段AE的長度；

（2）如圖2，當P為AB中點時，求證：CP平分∠ECB；

（3）若⊙O直徑為CE，則在點P的運動過程中，是否存在⊙O與AB相切，若存在，求出⊙O的半徑：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）存在，⊙O的半徑為 ．

【解析】

（1）如圖1，先證明∠PEA=∠CPB，則根據“AAS”可判斷△APE≌△BCP，從而得到AP=BC=3，AE=PB，然后計算出PB得到AE的長；
（2）如圖2，先計算出PC=，再證明△APE∽△BCP，利用相似比計算出PE=，利用三角函數的定義得到tan∠ECP==tan∠BCP，從而可判斷∠ECP=∠BCP；
（3）連接OP，如圖3，根據切線的判定法，當OP⊥AB時，AB與⊙O相切，再證明AP=PB=2，則可利用由（2）的結論得到CP=，EP=，然后利用勾股定理計算出CE即可得到⊙O的半徑．

（1）解：如圖1，

∵PE⊥PC，

∴∠EPC＝90°，

∴∠APE+∠CPB＝90°，

而∠APE+∠PEA＝90°，

∴∠PEA＝∠CPB，

在△APE和△BCP

，

∴△APE≌△BCP（AAS），

∴AP＝BC＝3，AE＝PB，

而PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，

∴AE＝1；

（2）證明：如圖2，

∵P為AB中點，

∴AP＝BP＝2，

∴PC＝，

∵∠PEA＝∠BPC，∠A＝∠B＝90°，

∴△APE∽△BCP，

∴，即，

解得：PE＝，

在Rt△PCE中，tan∠ECP＝，

在Rt△PCB中，tan∠BCP＝，

∴∠ECP＝∠BCP，

∴CP平分∠ECB；

（3）解：存在．連接OP，如圖3，

當OP⊥AB時，AB與⊙O相切，

∵OE＝OC，

∴AP＝PB＝2，

由（2）得CP＝，EP＝，

在Rt△PCE中，CE＝，

∴⊙O的半徑為：.