Question

【題目】某班數學興趣小組進行了如下探究：（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD交點為P，過點P作PQ⊥BC于點Q，連結DQ交AC于點P1，過點P1作P1Q1⊥BC于點Q1，已知AB=CD=a，則PQ= ，P1Q1= ．（用含a的代數式表示）

（2）如圖②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于點P，過點P作PQ⊥BC于點Q．已知AB=a，CD=b，請用含a、b的代數式表示線段PQ的長，寫出你的解題過程．

（3）如圖③，在直角坐標系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x軸正半軸上（點B與原點O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于點P，過點P作PQ∥CD交BC于點Q，連結AQ交BD于點P1，過點P1作P1Q1∥CD交BC于點Q1．連結AQ1交BD于點P2，過點P2作P2Q2∥CD交BC于點Q2，…，已知AB=a，CD=b，則點P1的縱坐標為 點Pn的縱坐標為 （直接用含a、b、n的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）a；a；（2）；（3）；.

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的對角線互相平分且相等可得BP=PD，再根據在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得PQ∥CD，然后根據平行線分線段成比例定理列式求解即可得到PQ，同理求出P1Q1∥CD，然后求出的值，再求出的值，然后根據平行線分線段成比例定理可得，再代入數據進行計算即可求出P1Q1；

（2）先根據AB∥CD求出，然后求出，再根據在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得PQ∥CD，然后根據平行線分線段成比例定理可得，代入數據進行計算即可得解；

（3）根據（2）的結論依次表示出PQ、P1Q1、P2Q2…PnQn，再根據兩直線平行，同位角相等求出∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，然后利用60°角的正弦值列式計算即可得解．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴BP=PD，

∵PQ⊥BC，

∴PQ∥CD，

∴，

∴PQ=CD=a，

∵P1Q1⊥BC，

∴P1Q1∥CD，

∴，

∴，

又∵，

∴P1Q1=a；

（2）∵AB∥CD，

∴，

∴，

∵AB∥CD，∠ABC=90°，PQ⊥BC，

∴PQ∥CD，

∴，

∴PQ=；

（3）根據（2）的結論，PQ=，

P1Q1=，

P2Q2=，

P3Q3=，

…，

依此類推，PnQn=，

∵AB∥CD，PQ∥CD，P1Q1∥CD，P2Q2∥CD，…，

∴AB∥PQ∥P1Q1∥P2Q2∥…∥PnQn∥CD，

∴∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，

∴點P1的縱坐標為：P1Q1sin60°=，

點Pn的縱坐標為為PnQnsin60°=．