Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，AC=BC=8，O為AB的中點，以O為直角頂點作等腰直角三角形OEF,與邊AC，BC相交于點M，N.有下列結論：①AM=CN；②CM+CN=8；③；④當M是AC的中點時，OM=ON.其中正確結論的序號是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

連接OC．由等腰直角三角形的性質得到AO=BO=OC，∠A=∠ACO=∠OCB=45°，OC⊥AO，再由同角的余角相等，得到∠1=∠3，根據ASA即可證明△AMO≌△CNO，根據全等三角形的性質即可得到結論．

連接OC．

∵Rt△ACB中，AC=BC=8，O為AB的中點，∴AO=BO=OC，∠A=∠ACO=∠OCB=45°，OC⊥AO，∴∠1+∠2=90°．

∵∠EOF=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．

在△AMO和△CNO中，∵∠A=∠OCN=45°，AO=CO，∠1=∠3，∴△AMO≌△CNO，∴AM=CN，故①正確；

∵AM=CN，∴CM+CN=CM+AM=AC=8，故②正確；

∵△AMO≌△CNO，∴S△AMO=S△CNO，∴S四邊形OMCN=S△OMC+S△CON= S△OMC+S△AOM=S△AOC=S△ABC=×AC×BC=×8×8=16，故③錯誤；

∵△AMO≌△CNO，∴MO=NO，故④正確．

故答案為：①②④．