Question

如圖，已知直線y=x+4與兩坐標軸分別交于A、B兩點，⊙C的圓心坐標為 （2，O），半徑為2，若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值和最大值分別是　    　．

Answer 1

8﹣2和8+2

首先由一次函數解析式求出OA、OB的長，而△ABE中，BE邊上的高是OA，且OA為定值，所以求△ABE面積的最小值和最大值，轉化為求BE的最小值和最大值。過點A作⊙C的兩條切線AD、AD′，當動點運動到D點時，BE最小，即△ABE面積最小；當動點運動到D′點時，BE最大，即△ABE面積最大。最后根據比例求出BE 、BE′的值，進而求出△ABE面積的最小值和最大值．
解：由y=x+4得：
當x=0時，y=4，當y=0時，x=﹣4，
∴OA=4，OB=4，
∵△ABE的邊BE上的高是OA，
∴△ABE的邊BE上的高是4，
∴要使△ABE的面積最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
過A作⊙C的兩條切線，如圖，

當動點運動到D點時，BE最小，即△ABE面積最小；
當動點運動到D′點時，BE最大，即△ABE面積最大；
∵x軸⊥y軸，OC為半徑，
∴EE′是⊙C切線，
∵AD′是⊙C切線，
∴OE′=E′D′，
設E′O=E′D′=x，
∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切線，
∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4，
∴sin∠CAD′==，
∴=，
解得：x=，
∴BE′=4+，BE=4﹣，
∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4=8﹣2，
最大值是：×（4+）×4=8+2，
故答案為：8﹣2和8+2．