Question

【題目】探究：如圖，分別以△ABC的兩邊AB和AC為邊向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于點P．

求證：∠ANC＝∠ABE．

應用：Q是線段BC的中點，若BC＝6，則PQ＝　 　．

Answer 1

【答案】證明見解析，3

【解析】

探究：根據正方形性質得出AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，求出∠NAC=∠BAE，證出△ANC≌△ABE即可；

應用：先證明△BCP為直角三角形，然后，依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可．

證明：∵四邊形ANMB和ACDE是正方形，

∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90°，

∵∠NAC＝∠NAB+∠BAC，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，

∴∠NAC＝∠BAE，

在△ANC和△ABE中，AN=AB，∠NAC=∠BAE，AC=AE

∴△ANC≌△ABE（SAS），

∴∠ANC＝∠ABE．

應用：如圖所示，

∵四邊形NABM是正方形，

∴∠NAB＝90°，

∴∠ANC+∠AON＝90°，

∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，

∴∠ABP+∠BOP＝90°，

∴∠BPC＝∠ABP+∠BOP＝90°，

∵Q為BC中點，BC＝6，

∴PQ＝BC＝3，