Question

如圖，已知A，B兩點是直線AB與軸的正半軸，軸的正半軸的交點，且OA，OB的長分別是的兩個根(OA＞OB)，射線BC平分∠ABO交軸于C點，若有一動點P以每秒1個單位的速度從B點開始沿射線BC移動，運動時間為t秒.

（1）設△APB和△OPB的面積分別為S₁，S₂，求S₁∶S₂；
（2）求直線BC的解析式；
（3）在點P的運動過程中，△OPB可能是等腰三角形嗎？若可能，直接寫出時間t的值，若不可能，請說明理由.

Answer 1

（1）s₁:s₂=5:3；（2）y=-2x+6；（3）6或或

試題分析：（1）先解方程求出OA和OB的長度，P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，而兩個三角形的高相等，S₁：S₂=AB：OB=5：3；
（2）過C作CD垂直AB，垂足為D，設OC=x，則CD=x，易知BD=OB，然后根據勾股定理列出方程式解答即可；
（3）分別取三個點做頂角的頂點，然后求出符合題意的t的值．
（1）解方程得x₁=6，x₂="8"
所以OA=8，OB=6，AB=10
因為P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，
所以S₁：S₂=AB：OB=5：3；
（2）過C作CD垂直AB，垂足為D，

設OC=x，則CD=x，易知BD=OB，
在直角三角形CDA中：CD²+AD²=AC²，
x²+4²=（8-x）²
解得x=3
所以C點的坐標（3，0）
BC的解析式：y=-2x+6；
（3）①BP=OB時，t=6
②BP=OP時，P在OB的中垂線上，y_p=3，代入直線BC的解析式得P（，3），
利用勾股定理可得BP=
；
③OB=OP時，．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．