Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm，BD⊥AC于D，且BD=16cm．點M從點A出發，沿AC方向勻速運動，速度為4cm/s；同時點P由B點出發，沿BA方向勻速運動，速度為lcm/s，過點P的動直線PQ∥AC，交BC于點Q，連結PM，設運動時間為t(s)(0＜t＜5)，解答下列問題：

（1）線段AD=___cm；

（2）求證：PB=PQ；

（3）當t為何值時，以P、Q、D、M為頂點的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）AD=12cm；（2）證明見解析；（3）t=s或4s

【解析】

（1）由勾股定理求出AD即可；

（2）由等腰三角形的性質和平行線的性質得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出結論；

（3）分兩種情況：①當點M在點D的上方時，根據題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，當PQ=MD時，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可；

②當點M在點D的下方時，根據題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-AD=4t-12，由PQ∥MD，當PQ=MD時，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可．

（1）解：∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

∴AD=，

故答案為：12；

（2）證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，

∵PQ∥AC，

∴∠PQB=∠C，

∴∠PBQ=∠PQB，

∴PB=PQ；

（3）分兩種情況：

①當點M在點D的上方時，如圖所示

根據題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，

∴MD=AD-AM=12-4t，

∵PQ∥AC，

∴PQ∥MD，

當PQ=MD時，四邊形PQDM是平行四邊形，

∴t=12-4t，

解得：t=（s）；

②當點M在點D的下方時，如圖所示：

根據題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，

∴MD=AM-AD=4t-12，

∵PQ∥AC，

∴PQ∥MD，

當PQ=MD時，四邊形PQDM是平行四邊形，

∴t=4t-12，

解得：t=4（s）；

綜上所述，當t=s或t=4s時，以P、Q、D、M為頂點的四邊形為平行四邊形；

故答案為：s或4s．