Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．

（1）求證：AT平分∠BAC；

（2）若AO=2，AT=，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）AT平分∠BAC；（2）AC=3．

【解析】

試題分析：（1）連接OT，如圖，根據切線的性質得OT⊥PQ，加上AC⊥PQ，則可判斷OT∥AC，所以∠TAC=∠OTA，而∠OTA=∠OAT，所以∠TAC=∠OAT；

（2）連接BT，如圖，證明Rt△ABT∽Rt△ATC，然后利用相似比克計算出AC的長．

試題解析：（1）證明：連接OT，如圖，

∵PQ切⊙O于T，

∴OT⊥PQ，

∵AC⊥PQ，

∴OT∥AC，

∴∠TAC=∠OTA，

而OT=OA，

∴∠OTA=∠OAT，

∴∠TAC=∠OAT，

∴AT平分∠BAC；

（2）連接BT，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ATB=90°，

∵∠TAC=∠BAT，

∴Rt△ABT∽Rt△ATC，

∴，即，

∴AC=3．