Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C，點D是半圓上兩點，連結AC，BD相交于點P，連結AD，OD．已知OD⊥AC于點E，AB＝2．下列結論：

①AD2＋BC2＝4；

②sin∠DAC＝；

③若AC＝BD，則DE＝OE；

④若點P為BD的中點，則DE＝2OE．

其中正確的是（ ）

A.①②③B.②③④C.③④D.②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①錯誤．證明AC2＋BC2＝AB2＝4即可判斷．

②正確．證明∠DAC＝∠CBP即可解決問題．

③正確．推出△AOD是等邊三角形，即可解決問題．

④正確．利用全等三角形的性質證明DE＝BC，再利用三角形的中位線定理證明BC＝2OE即可解決問題．

解：∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC2＋BD2＝AB2＝4，

∵AC＞AD，

∴AD2＋BC2＜4，故①錯誤，

∵∠DAC＝∠CBD，

∴sin∠DAC＝sin∠CBD＝，故②正確，

∵AE⊥OE，

∴＝，

∵AC＝BD，

∴＝，

∴＝＝，

∴∠AOD＝60°，

∵OA＝OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∵AE⊥OD

∴DE＝OE，故③正確，

∵∠DEP＝∠BCP＝90°，DP＝PB，∠DPE＝∠BPC，

∴△PDE≌△PBC（AAS），

∴DE＝BC，

∵OE∥BC，AO＝OB，

∴AE＝EC，

∴BC＝2OE，

∴DE＝2OE，故④正確．

故選：B．