Question

【題目】已知直線l1：y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，且與雙曲線交于點C（1，a）．

（1）試確定雙曲線的函數表達式；

（2）將l1沿y軸翻折后，得到l2，畫出l2的圖象，并求出l2的函數表達式；

（3）在（2）的條件下，點P是線段AC上點（不包括端點），過點P作x軸的平行線，分別交l2于點M，交雙曲線于點N，求S△AMN的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=﹣x+3；（3）≤S△AMN＜4．

【解析】

試題分析：（1）令x=1代入一次函數y=x+3后求出C的坐標，然后把C代入反比例函數解析式中即可求出k的值；

（2）設直線l2與x軸交于D，由題意知，A與D關于y軸對稱，所以可以求出D的坐標，再把B點坐標代入y=ax+b即可求出直線l2的解析式；

（3）設M的縱坐標為t，由題意可得M的坐標為（3﹣t，t），N的坐標為（，t），進而得MN=+t﹣3，又可知在△ABM中，MN邊上的高為t，所以可以求出S△AMN與t的關系式．

試題解析：（1）令x=1代入y=x+3，∴y=1+3=4，∴C（1，4），把C（1，4）代入中，∴k=4，∴雙曲線的解析式為：；

（2）如圖所示，設直線l2與x軸交于點D，由題意知：A與D關于y軸對稱，∴D的坐標為（3，0），設直線l2的解析式為：y=ax+b，把D與B的坐標代入上式，得：，∴解得：，∴直線l2的解析式為：y=﹣x+3；

（3）設M（3﹣t，t），∵點P在線段AC上移動（不包括端點），∴0＜t＜4，∴PN∥x軸，∴N的縱坐標為t，把y=t代入，∴x=，∴N的坐標為（，t），∴MN=﹣（3﹣t）=+t﹣3，過點A作AE⊥PN于點E，∴AE=t，∴S△AMN=AEMN=t（+t﹣3）==．

由二次函數性質可知，當0≤t≤時，S△AMN隨t的增大而減小，當＜t≤4時，S△AMN隨t的增大而增大，∴當t=時，S△AMN可取得最小值為，當t=4時，S△AMN可取得最大值為4，∵0＜t＜4，∴≤S△AMN＜4．