Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD邊長為1，點P是射線AD的上的一個動點，點A關于直線BP的對稱點是點Q，設AP=x．

（1）求當D，Q，B三點在同一直線上時對應的x的值．

（2）當△CDQ為等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ， ．

【解析】分析: （1）求x，通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形PDE，發現PE，DE，PD都可用x來表示，進而易得方程，求解即可．

（2）若△CDQ為等腰三角形，則邊CD比為改等腰三角形的一腰或者底邊．又Q點為A點關于PB的對稱點，則AB＝QB，以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，則Q點只能在弧AB上．若CD為腰，以點C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧交點即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為腰）的Q點．若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為底）的Q點．則如圖所示共有三個Q點，那么也共有3個P點．作輔助線，利用直角三角形性質求之即可．

詳解:

（1）連接DB，若Q點落在BD上，由AP=x，則PD=1﹣x，PQ=x．

∵∠PDQ=45°，

∴PD=PQ，

即1﹣x=x，

∴x=﹣1，

（2）①如圖1，連接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，過點Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ1為等邊三角形，正方形ABCD邊長為1，

∴Q1F=Q1E=．

在四邊形ABPQ1中，

∵∠ABQ1=30°，

∴∠APQ1=150°，

∴△PEQ1為含30°的直角三角形，

∴PE=Q1E=．

∵AE=，

∴x=AP=AE﹣PE=2﹣．

②如圖2，連接BQ2，AQ2，過點Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，連接BP，過點Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2=BQ2．∵AB=BQ2，∴△ABQ2為等邊三角形．在四邊形ABQP中，∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ2=60°，∴∠ABP=30°，

∴x=AP=．

③如圖4，連接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，過點Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延長線于P，連接BP，過點Q1，作EF⊥AD于E，此時Q3在EF上，不妨記Q3與F重合．

∵△BCQ1為等邊三角形，△BCQ3為等邊三角形，BC=1，

∴Q1Q2=，Q1E=，

∴EF=．

在四邊形ABQ3P中

∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，

∴∠EPF=30°，

∴EP=EF=．

∵AE=，

∴x=AP=AE+PE=+2．

圖1 圖2

綜上所述：△CDQ為等腰三角形時x的值為2﹣， ，2+．

點睛:本題第一問非常基礎，難度較低．第二問因為動點的原因，思路不易找到，這里就需要做題時充分分析已知條件，尤其是新給出的條件．其中求邊長是勾股定理的重要應用，是很重要的考點．第三問是一個難度非常高的題目，可以利用尺規作圖的思想將滿足要求的點Q找全．另外求解各個P點也是考察三角函數及勾股定理的綜合應用，有著極高的難度．