Question

【題目】已知矩形ABCD，點P為邊BC上一動點，連接AP，將線段AP繞點P順時針旋轉90°，點A恰好落在直線CD上點E處

(1) 如圖1，點E在線段CD上，求證：AD＋DE＝2AB

(2) 如圖2，點E在線段CD的延長線上，且點D 為線段CE的中點，在線段BD上取點F，連接AF、PF，若AF=AB，求證：∠APF＝∠ADB

(3) 如圖3，點E在線段CD上，連接BD．若AB＝2，BD∥PE，則DE＝___________ （直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）用同角的余角相等得出∠BAP=∠CPE，進而判斷出△ABP≌△PCE，即可的得出AB=PC=CD，BP=CE，最后用相等的線段代換即可；
（2）先判斷出四邊形ABDE是平行四邊形則有BD∥AE，即可得到， 再判斷出，△APF≌△EPD，則有∠AFP=∠DEP，最后用三角形的外角和等角代換即可；
（3）先借助（1）的結論得出PC=AB=2, AD=4DE，再判斷出△CPE∽△CBD，則有最后代值解關于的方程即可．

試題解析：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴

∴

∵

∴

∴∠BAP=∠CPE，

在△ABP和△PCE中,

∴△ABP≌△PCE，

∴AB=PC=CD，BP=CE，

∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB；

(2)如圖,

∵AB=AF，

∴∠ABF=∠AFB，

∵AB∥DC，

∴∠ABF=∠BDC，

∴∠AFB=∠BDC，

∴∠AFD=∠EDF，

∵AB=CD=DE,AB∥CD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴BD∥AE，

∵

∴

∴

∵BD∥AE，

∴

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠FAE=∠DEA，

∵∠PAE=∠PEA，

∴∠FAP=∠DEP，

在△APF和△EPD中,

∴△APF≌△EPD，

∴∠AFP=∠DEP，

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠PFD=∠PDF，

在Rt△PCD中，PC=PD，

∴ ∴

∴

∵

∴

∴∠APF=∠ADB；

(3)由(1)知,△ABP≌△PCE，

∴PC=AB=2,由(1)知，AD+DE=2AB=4，

∴AD=4DE，

∵DB∥PE，

∴△CPE∽△CBD，

∴

∵CB=AD=4DE，CD=AB=2，CE=CDDE=2DE，

∴

∴ (由于點E在線段CD上,且CD=2,所以舍去)或

即：

故答案為：