Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O經過AC的中點D，DE⊥BC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）當AB=4 ，∠C=30°時，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，D是AC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∵點D在圓上，

∴DE為⊙O的切線

（2）解：過點O作OF⊥AD，垂足為F，

∵OD∥BC，∠C=∠ODF=30°，

∴∠ADO=30°，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA=30°，

∴∠A=∠C，

∴AB=BC=4 ，

∴OD=2 ，∠AOD=120°，OF= ，

∴AF=3，AD=6，

∴S△AOD= ADOF= ×6× =3 ，

∴陰影部分面積S= ﹣3 =4

【解析】（1）連接OD，利用平行線的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，從而判斷DE是圓的切線；（2）過點O作OF⊥AD，垂足為F，根據等腰三角形的性質得到∠AOD=120°，然后求得陰影部分面積即可．
【考點精析】利用切線的判定定理和扇形面積計算公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．