Question

（2009•石景山區二模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△AOB為等邊三角形，點A的坐標是（4，0），點B在第一象限，AC是∠OAB的平分線，并且與y軸交于點E，點M為直線AC上一個動點，把△AOM繞點A順時針旋轉，使邊AO與邊AB重合，得到△ABD．
（1）求直線OB的解析式；
（2）當M與點E重合時，求此時點D的坐標；
（3）是否存在點M，使△OMD的面積等于3？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為△AOB為等邊三角形，點A的坐標是（4，0），所以OB=BA=OA=4，∠BOA=60°，過B作x軸的垂線段，利用三角函數即可求出該垂線段的長度，即B的縱坐標，而B的橫坐標為2，從而即可求出B的坐標，然后利用待定系數法即可求出直線OB的解析式；
（2）當M與點E重合時，因為AC是∠OAB的平分線，所以∠MAO=∠MAB=30°，又因把△AOM繞點A順時針旋轉，使邊AO與邊AB重合，得到△ABD，所以旋轉角為60°，由此∠MAD=60°，∠OAD=90°，所以DA⊥x軸，DB⊥BA，∠EAO=∠BAD=30°，此時DA=AE=，即點D（4，8）；
（3）可過M作MN⊥x軸，設MN=a，下面需分情況討論：
當M在x軸上方時，由∠OAM=30°，可得MA=2a，NA=a，所以S_△OMD=（4-a）•a+（a+2a）•a-•4•2a，又因要使△OMD的面積等于3，利用方程即可求出a的值；
當M在x軸下方時，由∠NAM=30°可得MA=2a，NA=a，所以S_△OMD=•4•2a+（a+2a）•a-•（4+a）•a=3，解之即可；
解答：解：（1）B（2，6）；l_OB：y=x；

（2）如圖1，由題意DB⊥BA，∠EAO=∠BAD=30度，
此時DA=AE=，即點D（4，8）；

（3）過M作MN⊥x軸，設MN=a，
如圖2，當M在x軸上方時，
由∠OAM=30°，
∴MA=2a，NA=a，
S_△OMD=（4-a）•a+（a+2a）•a-•4•2a=3，
解得a=3，

如圖3，當M在x軸下方時，由∠NAM=30°，
∴MA=2a，NA=a，
S_△OMD=•4•2a+（a+2a）•a-•（4+a）•a=3，
解得a=1，
∴M₁（，3），M₂（5，-1）．
點評：本題是一道綜合性較強的題目，而解決這類問題常常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．