Question

【題目】如圖，在正方形中，點是上一動點(不寫重合)，對角線相交于點，過點分別作的垂線，分別交于點，交于點，下列結論：①≌；②；③ ；④當 時，點是的中點，其中一定正確的結論有_______.(填上所有正確的序號)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據正方形的每一條對角線平分一組對角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角邊角”證明△APE和△AME全等；②根據全等三角形對應邊相等可得PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP，證出四邊形PEOF是矩形，得出PF=OE，證得△APE為等腰直角三角形，得出AE=PE，PE+PF=OA，即可得到PM+PN=AC；③判斷出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，從而確定出兩三角形不一定相似；④證出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，從而得出結論．

①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°，

∵PM⊥AC，

∴∠AEP=∠AEM=90°，

在△APE和△AME中，

∵，

，

，

∴△APE≌△AME（ASA），
故①正確；
②∵△APE≌△AME，

∴PE=EM=PM，

同理，FP=FN=NP，

∵正方形ABCD中，AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE

∴四邊形PEOF是矩形．

∴PF=OE，

∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，

∴△APE為等腰直角三角形，
∴AE=PE，

∴PE+PF=OA，

又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，

∴PM+PN=AC，

故②正確；

③∵△APE≌△AME，
∴AP=AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，

∴△POF與△BNF不一定相似，

故④錯誤；

④∵△APE≌△AME，

∴AP=AM，

∴△AMP是等腰直角三角形，

同理，△BPN是等腰直角三角形，

當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM=PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP=BP，即P是AB的中點，

故④正確；

故答案為①②④．