Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，過A作AP∥BC交CO的延長線于點P．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若BC＝8，tanB＝2，求PA的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）PA＝．

【解析】

（1）作AD⊥BC于點D，根據切線的判定即可求出答案．

（2）易求得AD＝8，設OC＝OA＝x，根據勾股定理可求出x的值，再證明△AOP∽△DOC，利用相似三角形的性質即可求出PA的長度．

解：（1）作AD⊥BC于點D，

∵AB＝AC，

∴AE平分BC

∴點O在AD上，

∵AP∥BC，

∴AD⊥AP，

∴PA是⊙O的切線．

（2）∵tanB＝2，BD＝CD＝BC＝4，

∴AD＝8，

設OC＝OA＝x，

在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2，

∴ ，

解得：x＝5，

∴OD＝8﹣x＝8﹣5＝3，

∵∠AOP＝∠COD，∠OAP＝∠ODC＝90°，

∴△AOP∽△DOC，

∴ ，

∴

∴PA＝．