Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，且滿足BE=BC．連接CE并延長交AD于點F，連接AE，過B點作BG⊥AE于點G，延長BG交AD于點H．在下列結論中：

①AH=DF； ②∠AEF=45°； ③S四邊形EFHG=S△DEF+S△AGH，

其中正確的結論有_____________________．(填正確的序號)

Answer 1

【答案】①②

【解析】∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45，AB=BC，

∵BE=BC，

∴AB=BE，

∵BG⊥AE，

∴BH是線段AE的垂直平分線,∠ABH=∠DBH=22.5，

在Rt△ABH中,∠AHB=90∠ABH=67.5，

∵∠AGH=90，

∴∠DAE=∠ABH=22.5，

在△ADE和△CDE中， ，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠DAE=∠DCE=22.5，

∴∠ABH=∠DCF，

在Rt△ABH和Rt△DCF中， ，

∴Rt△ABH≌Rt△DCF，

∴AH=DF,∠CFD=∠AHB=67.5，

∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，

∴67.5=22.5+∠AEF，

∴∠AEF=45，故①②正確；

如圖，連接HE，

∵BH是AE垂直平分線，

∴AG=EG

∴S△AGH=S△HEG，

∵AH=HE，

∴∠AHG=∠EHG=67.5，

∴∠DHE=45，

∵∠ADE=45，

∴∠DEH=90,∠DHE=∠HDE=45，

∴EH=ED，

∴△DEH是等腰直角三角形，

∵EF不垂直DH，

∴FH≠FD，

∴S△EFH≠S△EFD，

∴S四邊形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故③錯誤，

∴正確的是①②.