Question

在平面直角坐標系中，拋物線過點，且與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C.點D的坐標為，連接CA，CB，CD.

（1）求證：；
（2）是第一象限內拋物線上的一個動點，連接DP交BC于點E.
①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出點E的坐標；
②連接CP，當△CDP的面積最大時，求點E的坐標.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）（4，），（6-，）；（，）．

試題分析：（1）把點（2，4）代入拋物線解析式計算即可求出m的值，然后求出點A、B、C的坐標，過點B作BM⊥CD交CD的延長線于M，然后求出∠CDO=∠BDM=45°，利用勾股定理列式分別求出CD、DM、BM，再根據銳角的正切相等證明即可；
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再分BE=DE時，利用等腰三角形三線合一的性質求解，BE=BD時，利用∠OBC的正弦和余弦求解；
②根據拋物線解析式設出點P的坐標，過點P作x軸的垂線，垂足為F，交CD的延長線于點Q，再求出直線CD的解析式，然后寫出點Q的坐標，再根據S△CDP=S△CPQ-S△DPQ列式整理，然后利用二次函數的最值問題求出點P的坐標，利用待定系數法求出直線PD的解析式，聯立直線PD、BC的解析式，求解即可得到點E的坐標．
試題解析:（1）∵拋物線y=mx²+（m+2）x+2過點（2，4），
∴m•2²+2（m+2）+2=4，
解得m=-，
∴拋物線解析式為y=-x²+x+2，
令y=0，則-x²+x+2=0，
整理得，x²-5x-6=0，
解得x₁=-1，x₂=6，
令x=0，則y=2，
∴A（-1，0），B（6，0），C（0，2），
過點B作BM⊥CD交CD的延長線于M，
在Rt△DOC中，∵OC=OD=2，
∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2，
在Rt△BMD中，∵BD=6-2=4，
∴DM=BM=4×，
在Rt△CMD中，tan∠BCM=，
又∵tan∠ACO=，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）①由勾股定理得，BC=，
BE=DE時，點E的橫坐標為6-×（6-2）=4，點E的縱坐標是×（6-2）×=，
所以，點E₁（4，）；
BE=BD時，點E的橫坐標為6-（6-2）×=6-，點E的縱坐標為（6-2）×=，
所以，點E₂（6-，），
綜上所述，點E₁（4，）；或E₂（6-，）時，△BDE是等腰三角形；
②設P（x，-x²+x+2），
過點P作x軸的垂線，垂足為F，交CD的延長線于點Q，
則直線CD的解析式為y=-x+2，

∴點Q（x，-x+2），
S_△CDP=S_△CPQ-S_△DPQ，=PQ•OF-PQ•DF=PQ•OD，
∵OD=2，
∴S_△CDP=PQ=-x²+x+2-（-x+2）=-x²+x（0＜x＜6），
∵S=-x²+x=-（x-4）²+，
∴當x=4時，△CDP的面積最大，
此時，-x²+x+2=-×4²+×4+2=，
∴點P（4，），
設直線PD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直線PD的解析式為y=x-，
直線BC的解析式為y=-x+2，
聯立 ，
解得 ，
所以，點E的坐標為（，）．
考點: 二次函數綜合題.