Question

【題目】定義：在三角形中，若有兩條中線互相垂直，則稱該三角形為中垂三角形．

（1）如圖（1），△ABC是中垂三角形，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線，且BD⊥AE于點O，若∠BAE＝45°，求證：△ABC是等腰三角形．

（2）如圖（2），在中垂三角形ABC中，AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，且AE⊥BD于點O，猜想AB2，BC2，AC2之間的數量關系，并加以證明．

（3）如圖（3），四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O，點M，N分別是OA，OD的中點，連接BM，CN并延長，交于點E．

①求證：△BCE是中垂三角形；

②若，請直接寫出BE2+CE2的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AC2+BC2＝5AB2，證明詳見解析；（3）①詳見解析；②40．

【解析】

（1）先判斷出DE是△ABC的中位線，進而判斷出△AOD≌△BOE（SAS），即可得出結論；

（2）先判斷出AC＝2AD，BC＝2BE，再借助勾股定理，即可得出結論；

（3）①先判斷出MN∥BC，MN=BC，即可得出結論；

②同（2）的方法即可判斷出

（1）證明：如圖（1），∵BD⊥AE，∠BAE＝45°，

∴∠ABD＝45°．

連接DE，

由題意可得，AC＝2AD，BC＝2BE，DE是△ABC的中位線，

∴DE∥AB，

∴∠AED＝∠BAE＝∠ABD＝∠EDB＝45°，

∴OD＝OE，OA＝OB．

又∵∠AOD＝∠BOE＝90°，

∴△AOD≌△BOE（SAS），

∴AD＝BE，

∴AC＝BC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）AC2+BC2＝5AB2．

證明：如圖（2），連接DE，∵AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，

∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE=AB，

∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2=AB2，

在Rt△AOD中，AD2＝OD2+OA2，

在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，

∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）＝4(AB2+DE2)=4(AB2+AB2)=5AB2；

（3）①證明：如圖（3），連接MN．

∵點M，N分別是OA，OD的中點，

∴MN是△AOD的中位線，

則MN∥AD，且MN=AD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CM⊥BN，AD＝BC，且AD∥BC，

∴MN∥BC，MN=BC，

∴EM＝MB，EN＝AC，

∴CM，BN是△BCE的中線，

∴△BCE是中垂三角形．

②∵AB＝2，

同（2）的方法得，BE2+CE2＝5AB2＝5×（2）2＝40．