Question

【題目】已知，如圖，二次函數（其中，是常數，為正整數）

（1）若經過點求的值．

（2）當，若與軸有公共點時且公共點的橫坐標為非零的整數，確定的值；

（3）在（2）的條件下將的圖象向下平移個單位，得到函數圖象，求的解析式；

（4）在（3）的條件下，將的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請結合新的圖象解答問題，若直線與有兩個公共點時，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．

【解析】

（1）把代入，即可求出的值；

（2）把代入得到函數解析式，根據與軸有公共點，得出，結合k為正整數求出k的取值范圍，根據與軸公共點的橫坐標為非零的整數，進一步確定k即可；

（3）將解析式配方成頂點式，根據平移規律“上加下減”得出的解析式，整理為一般式即可；

（4）根據題目要求，畫出的圖像，并求出翻折部分解析式，求出經過D、E時b的值，再求出與只有一個公共點時b的值，結合圖像即可確定b的取值范圍．

解：（1）把代入得，

解得；

（2）當時，函數解析式為，

∵ 與軸有公共點，

∴，

∴，

∵ 為正整數

∴或

當時，函數解析式為，函數與軸交點為(),(),不合題意，舍去；

當函數解析式為，函數與軸交點為(),符合題意；

∴當，函數與軸有公共點且公共點的橫坐標為非零的整數時，；

（3）由題意得解析式為：，

∴M的解析式為；

（4）當y=0時， 解得，

∴點D坐標為()，點E坐標為()．

如圖，將的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，解析式為，

即

當直線經過點E時，，，

當直線經過點D時，，；

當直線與有一個交點時，

，即 ，

∴，

解得，

∴若直線與有兩個公共點時，則的取值范圍為或．