Question

已知：如圖，點P是線段AB上的動點，分別以AP、BP為邊向線段AB的同側作正△APC和正△BPD，AD和BC交于點M．
（1）當△APC和△BPD面積之和最小時，直接寫出AP：PB的值和∠AMC的度數；
（2）將點P在線段AB上隨意固定，再把△BPD按順時針方向繞點P旋轉一個角度α，當α＜60°時，旋轉過程中，∠AMC的度數是否發生變化？證明你的結論．
（3）在第（2）小題給出的旋轉過程中，若限定60°＜α＜120°，∠AMC的大小是否會發生變化？若變化，請寫出∠AMC的度數變化范圍；若不變化，請寫出∠AMC的度數．

Answer 1

解：（1）設AB=2a，AP的長是x，則BP=2a-x，
∴S_△APC+S_△PBD=x•x+（2a-x）•（2a-x）
=x²-ax+a²，
當x=-=-=a時△APC與△PBD的面積之和取最小值，
∴AP：PB=a：a=1
當AP=BP時，
AM=AC且AM平分∠CAB，
此時∠MAB=∠MBA=30°，
∠AMC=2∠MAB=2×30°=60°，
故答案為：1，60°；

（2）不變化．
證明：如圖，點E在AP的延長線上，
∠BPE=α＜60°．（只要畫出了符合題意的圖形即可得分）
∵∠BPC=∠CPD+60°，
∠DPA=∠CPD+60°，
∴∠BPC=∠DPA．
在△BPC和△DPA中，
又∵BP=DP，PC=PA，
∴△BPC≌△DPA．…
∴∠BCP=∠DAP．
∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
=120°-∠BCP-∠MAC
=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA
=120°-∠PAC
=60°，且與α的大小無關．…

（3）此時α的大小不會發生改變，始終等于60°．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°．
分析：（1）設AP的長是x，然后利用x表示出兩個三角形的面積的和，利用二次函數的性質即可求得x的值，從而求得兩線段的比值；
（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據三角形的外角的性質即可求解；
（3）旋轉的過程中，（2）中得兩個三角形的全等關系不變，因而角度不會變化．
點評：本題考查了旋轉的性質，以及全等三角形的判定與性質，正確證明兩個三角形全等是解題的關鍵．