Question

【題目】如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．已知DF：FA＝1：2．

（1）求證：△APB≌△APD；

（2）當線段DP的長為6時，求線段FG的長；

（3）請直接寫出的比值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）線段FG的長為5；（3）．

【解析】

（1）由菱形的性質知∠BAP＝∠DAP，AB＝AD，再結合AP＝AP即可證得△APB≌△APD；

（2）首先證明△AFP∽△CBP，得出，由知，根據PB＝PD知PF＝PD，結合DP＝6可得FB＝10，再證△DFG∽△AFB得，從而得出答案；

（3）由△APF∽△CBP，且知＝（）2＝，由S△ABC＝S△ADC，S△ABP＝S△ADP知S△PBC＝S△PDC，即可得出答案．

解：（1）由菱形的性質知∠BAP＝∠DAP，AB＝AD，

在△APB和△APD中，

∵，

∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴△AFP∽△CBP，

∴．

∵，

∴，

∴

由（1）知PB＝PD，

∴．

∴PF＝PD，

當DP＝6時，PF＝×6＝4，

∴FB＝FP+PB＝4+6＝10．

∵DG∥AB，

∴△DFG∽△AFB．

∴，

∴FG＝×10＝5

（3）由（2）知△APF∽△CBP，且

∴＝（）2＝，

又∵S△ABC＝S△ADC，S△ABP＝S△ADP，

∴S△PBC＝S△PDC，

∴=