Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=﹣2x﹣1經過拋物線上一點B（﹣2，m），且與y軸、直線x=2分別交于點D、E．

（1）求m的值及該拋物線對應的函數關系式；
（2）判斷直線BE與拋物線交點的個數；
（3）求證：CD垂直平分BE；
（4）若P是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得△PBE是等腰直角三角形，且∠PEB=90°？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點B（﹣2，m）在直線上y=﹣2x﹣1上，

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=3，

∴B（﹣2，3）．

∵拋物線經過原點O和點A，對稱軸為x=2，

∴點A的坐標為（4，0）．

設所求的拋物線對應函數關系式為y=ax（x﹣4），

將點B（﹣2，3）代入上式，

3=﹣2a×（﹣2﹣4），解得：a= ，

∴所求的拋物線對應的函數關系式為y= x（x﹣4）= x2﹣x

（2）

解：將y=﹣2x﹣1代入y= x2﹣x，得： x2﹣x=﹣2x﹣1，

整理得：x2+4x+4=0，

∴△=42﹣4×1×4=0，

∴直線BE與拋物線只有一個交點

（3）

解：證明：當x=2時，y=﹣2x﹣1=﹣5，

∴E（2，﹣5）．

∵C（2，0），B（﹣2，3），

∴CE=0﹣（﹣5）=5，CB= =5，

∴CE=CB．

∵D（0，﹣1），B（﹣2，3），E（2，﹣5），

∴BD= =2 ，DE= =2 ，

∴BD=DE，

∴CD垂直平分BE

（4）

解：不存在，理由如下：

過點E作ME⊥BE交x軸于點M，過點B作BN⊥直線x=2于點N，如圖所示．

∵B（﹣2，3），E（2，﹣5），

∴BN=2﹣（﹣2）=4，EN=3﹣（﹣5）=8，CE=0﹣（﹣5）=5．

∵∠BEN+∠EBN=90°，∠BEN+∠MEC=90°，

∴∠EBN=∠MEC，

∴△EBN∽△MEC，

∴ ，

∴MC=10，

∴M（12，0）．

設直線EM的函數關系式為y=kx+b（k≠0），

將E（2，﹣5）、M（12，0）代入y=kx+b，

，解得： ，

∴直線EM的函數關系式為y= x﹣6．

將y= x﹣6代入y= x2﹣x，得： x2﹣x= x﹣6，

整理得：x2﹣6x+24=0，

∴△=（﹣6）2﹣4×1×24=﹣60＜0，

∴直線EM與拋物線無交點，

∴不存在滿足條件的點P．

【解析】（1）根據點B的橫坐標利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點B的坐標，根據點O的坐標結合拋物線的對稱軸即可找出點A的坐標，設拋物線的函數關系式為y=ax（x﹣4），代入點B的坐標求出a值即可；（2）將直線BE的函數關系式代入拋物線的函數關系式中可得出關于x的一元二次方程，由根的判別式△=0，即可得出直線BE與拋物線只有一個交點；（3）根據點E的橫坐標利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點E的坐標，結合點B、C的坐標利用兩點間的距離公式，即可得出CE=CB，再根據點B、D、E的坐標利用兩點間的距離公式，即可得出BD=DE，根據等腰三角形的三線合一即可證出CD垂直平分BE；（4）過點E作ME⊥BE交x軸于點M，過點B作BN⊥直線x=2于點N，則△EBN∽△MEC，根據相似三角形的性質即可找出點M的坐標，由點E、M的坐標利用待定系數法可求出直線EM的函數關系式，將其代入拋物線的函數關系式中可得出關于x的一元二次方程，由根的判別式△=﹣60＜0，即可得出直線EM與拋物線無交點，由此得出不存在滿足條件的點P．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．