Question

【題目】Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2，D是AC的中點，從D作DE⊥AC與CB的延長線交于點E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連結DF，則DF的長是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由已知條件易證BC=AC=CD，這樣結合∠EDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，即可證得△EDC≌△ABC，結合四邊形ABEF是矩形可得DE=AB=EF，再證∠DEF=60°即可得到△DEF是等邊三角形，從而可得DF=DE，這樣在Rt△DEC中由DC=BC=2結合∠C=60°求出DE的長即可得到DF的長.

∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，

∴∠BAC=30°，

∴BC=AC，

又∵點D是AC的中點，

∴BC=DC，

∵DE⊥AC，

∴∠EDC=90°=∠ABC，

又∵∠C=∠C，

∴△EDC≌△ABC，

∴DE=AB，∠DEC=∠BAC=30°，

∵四邊形ABEF是矩形，

∴DE=AB=EF，∠FEC=90°，

∴∠FED=90°-30°=60°，

∴△DEF是等邊三角形，

∴DF=DE，

∵在Rt△DEC中，∠DEC=30°，∠EDC=90°，CD=2，

∴CE=4，

∴DE=，

∴DF=.

故選C.