Question

【題目】問題提出：

某校要舉辦足球賽，若有5支球隊進行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊都要分別與其他各隊比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？

構(gòu)建模型：

生活中的許多實際問題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來解決問題．

為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：

（1）如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個點（任意3個點都不在同一條直線上），其中每個點各代表一支足球隊，兩支球隊之間比賽一場就用一條線段把他們連接起來．由于每支球隊都要與其他各隊比賽一場，即每個點與另外4個點都可連成一條線段，這樣一共連成5×4條線段，而每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次，實際只有 條線段，所以該校一共要安排 場比賽．

（2）若學(xué)校有6支足球隊進行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排__________場比賽；

…………

（3）根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排___________場比賽．

實際應(yīng)用：

（4）9月1日開學(xué)時，老師為了讓全班新同學(xué)互相認識，請班上42位新同學(xué)每兩個人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手________________次．

拓展提高：

（5）往返于青島和濟南的同一輛高速列車，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準備車票的種數(shù)為__________種．

Answer 1

【答案】（1）10，10；（2）15；（3）；（4）861；（5）30

【解析】

（1）根據(jù)圖①線段數(shù)量進行作答．

（2）根據(jù)圖②線段數(shù)量進行作答．

（3）根據(jù)每個點存在n-1條與其他點的連線，而每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次，提出假設(shè)，當(dāng) 時均成立，假設(shè)成立．

（4）根據(jù)題意，代入求解即可．

（5）根據(jù)題意，代入求解即可．

（1）由圖①可知，圖中共有10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．

（2）由圖②可知，圖中共有15條線段，所以該校一共要安排15場比賽．

（3）根據(jù)圖①和圖②可知，若學(xué)校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，則每個點存在n-1條與其他點的連線，而每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次

∴若學(xué)校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排場比賽．

當(dāng) 時均成立，所以假設(shè)成立．

（4）將n=42代入關(guān)系式中

∴全班同學(xué)總共握手861次．

（5）因為行車往返存在方向性，所以不需要除去每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次的情況

將n=6代入 中

解得

∴要準備車票的種數(shù)為30種．