Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一點，且滿足∠BAD= ∠C，以AD為直徑的⊙O與AB，AC分別相交于點E，F．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）連接EF，若tan∠AEF= ，AD=4，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B，

∵∠CAB+∠B+∠C=180°，

∴2∠B+∠C=180°，

∴∠B+ ∠C=90°，

∵∠BAD= ∠C，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AD為⊙O直徑，

∴直線BC是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接DF，EF．

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AFD=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°，

∴∠ADF=∠C，

∵∠ADF=∠AEF，tan∠AEF= ，

∴tan∠C=tan∠ADF= ，

在Rt△ACD中，設AD=4x，則CD=3x，

∴AC= =5x，

∴BC=5x，BD=2x，

∵AD=4，

∴x=1，

∴BD=2．

【解析】（1）首先依據等腰三角形的性質得到∠CAB=∠B，然后結合三角形的內角和定理可得到∠B+ 1 2 ∠C=90°，然后依據題目條件可證明∠B+∠BAD=90°，然后依據切線的判定定理進行證明即可；
（2）連接DF，EF，由圓周角定理可知DF⊥AC，然后依據同角的余角相等得到∠ADF=∠C，接下來，依據同弧所對的圓周角相等得到∠ADF=∠AEF，由tan∠AEF的值得到tan∠ADF的值，設出AD=4x、DC=3x，再由AC=BC，根據BC-CD表示出BD，再由AD的長，最后，利用勾股定理求出x的值，從而可確定出BD的長.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．