Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD的中點．
（1）線段AF與BE有何關系．說明理由；
（2）延長AF、BC交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明△ABE≌△DAF，證據全等三角形的對應邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明AF相等且互相垂直；
（2）證明△ADF≌△HCF，依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得B，C，D，H四點到C的距離相等，即可證得四點共圓．

解答：解：（1）AF=BE且AF⊥BE．
證明：∵E、F分別是AD、CD的中點，
∴AE=

1

2

AD，DF=

1

2

CD
∴AE=DF
又∵∠BAD=∠D=90°，AB=AD
∴△ABE≌△DAF
∴AF=BE，∠AEB=∠AFD
∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD=90°
∴∠DAF+∠AEB=90°
∴∠AGE=90°
∴AF⊥BE
（2）連接CG．
∵DF=CF，∠D=∠FCH=90°，∠AFD=∠HFC
∴△ADF≌△HCF
∴BC=AD=CH=CD，
在直角△BGH中，BC=CH，
∴GC=

1

2

BH
∴CB=CG=CD=CH，
∴B，G，D，H在以C為圓心、BC長為半徑的圓上．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．