Question

【題目】將△ABC繞點A逆時針旋轉α得到△ADE，ED的延長線與BC相交于點F，連接AF、EC．

(1)如圖，若∠BAC=α=60°．

①證明：AB∥EC；

②證明：△DAF∽△DEC；

(2)如圖，若∠BAC＜α，EF交AC于G點，圖中有相似三角形嗎？如果有，請直接寫出所有相似三角形．

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；

【解析】

(1)①由旋轉得出△ABC與△ADE全等，得到AE=AC，由∠EAC=α=60°，證明△AEC為等邊三角形，推出∠ACE=∠BAC=60°即可證明結論；

②由△ABC與△ADE全等，得到∠AED=∠ACB，由對頂角相等，證明△ADE與△FDC相似，推出對應邊的比相等，再由∠ADF=∠EDC即可證明結論；

(2)由△ABC與△ADE全等，得到∠AED=∠ACB，再由對頂角相等證出△AGE與△FGC相似；由△AGE與△FGC相似，推出△AGF與△EGC對應邊的比相等，由對頂角相等即可推出△AGF與△EGC相似．

解：(1)①∵△ABC繞點A逆時針旋轉α得到△ADE，

∴△ABC≌△ADE，

∴AC=AE，

∵∠EAC=α=60°．

∴△AEC為等邊三角形，

∴∠ACE=∠BAC=60°，

∴AB∥EC；

②∵△ABC≌△ADE，

∴∠AED=∠ACB，

又∵∠ADE=∠FDC，

∴△ADE∽△FDC，

∴=，

∴=，

又∵∠ADF=∠EDC，

∴△DAF∽△DEC；

(2)①∵△ABC≌△ADE，

∴∠AED=∠ACB，

又∵∠AGE=∠FGC，

∴△AGE∽△FGC；

②∵△AGE∽△FGC，

∴=，

∴=，

又∵∠AGF=∠EGC，

△AGF∽△EGC；

綜上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；