Question

【題目】定義：有三個內角相等凸四邊形叫三等角四邊形．

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；
（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點E，F分別落在邊BE，BF上的點A，C處，折痕分別為DG，DH．求證：四邊形ABCD是三等角四邊形．
（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C＜90°，若CB=CD=4，則當AD的長為何值時，AB的長最大，其最大值是多少？（作圖解答）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠A=∠B=∠C，

∴3∠A+∠ADC=360°，

∴∠ADC=360°﹣3∠A．

∵0＜∠ADC＜180°，

∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，

∴60°＜∠A＜120°；

（2）

解：證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，

∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．

∵DE=DA，DF=DC，

∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，

∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，

∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，

∴四邊形ABCD是三等角四邊形

（3）

解：①當60°＜∠A＜90°時，如圖1，

過點D作DF//AB，DE//BC，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴EB=DF，DE=FB，

∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，

設AD=x，AB=y，

∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，

∵△DAE∽△DCF，

∴ = ，

∴ = ，

∴y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣2）2+5，

∴當x=2時，y的最大值是5，

即：當AD=2時，AB的最大值為5，

②當∠A=90°時，三等角四邊形是正方形，

∴AD=AB=CD=4，

③當90°＜∠A＜120°時，∠D為銳角，如圖2，

過點D作DE//BC，∠DCB=∠CBA，

∴四邊形BCDE是等腰梯形，

∴CD=EB=4，

∵AE=4﹣AB＞0，

∴AB＜4，

綜上所述，當AD=2時，AB的長最大，最大值是5

【解析】（1）根據四邊形的內角和是360°，確定出∠A的范圍；（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根據等角的補角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；（3）分三種情況分別討論計算AB的長，從而得出當AD=2時，AB最長；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質和相似三角形的應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．