Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點，DE= AD（n為大于2的整數），連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD，BC于點F，G，FG與BE的交點為O，連接BF和EG．

（1）試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；
（2）當AB=a（a為常數），n=3時，求FG的長；
（3）記四邊形BFEG的面積為S1 ， 矩形ABCD的面積為S2 ， 當 = 時，求n的值．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AD∥BC，

∴∠EFO=∠BGO，

∵FG為BE的垂直平分線，

∴BO=OE；

∵在△EFO和△BGO中， ，

∴△EFO≌△BGO，

∴FO=GO

∵EO=BO，且BE⊥FG

∴四邊形BGEF為菱形．

（2）

解：當AB=a，n=3時，AD=2a，AE= ，

根據勾股定理可以計算BE= ，

∵AF=AE﹣EF=AE﹣BF，在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，計算可得AF= ，EF= ，

∵菱形BGEF面積= BEFG=EFAB，計算可得FG=

（3）

解：設AB=x，則DE= ，

S1=BGAB，S2=BCAB

當 = 時， = ，可得BG= ，

在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，計算可得AF= ，

∴AE=AF+FE=AF+BG= ，DE=AD﹣AE= ，

∴ = ，

∴n=6．

【解析】（1）先求證△EFO≌△BGO，可得FO=GO，再根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即可證明四邊形BFEG為菱形；（2）根據菱形面積不同的計算公式（底乘高和對角線乘積的一半兩種計算方式）可計算FG的長度；（3）根據菱形面積底乘高的計算方式可以求出BG長度，根據勾股定理可求出AF的長度，即可求出ED的長度，即可計算n的值．