Question

【題目】如圖1，若拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B在拋物線L1上（點A與點B不重合），我們把這樣的兩拋物線L1、L2互稱為“伴隨拋物線”，可見一條拋物線的“伴隨拋物線”可以有多條．

（1）在圖1中，拋物線：L1：y=﹣x2+4x﹣3與L2：y=a（x﹣4）2﹣3互為“伴隨拋物線”，則點A的坐標為 ，a的值為 ；

（2）在圖2中，已知拋物線L3：y=2x2﹣8x+4，它的“伴隨拋物線”為L4，若L3與y軸交于點C，點C關于L3的對稱軸對稱的對稱點為D，請求出以點D為頂點的L4的解析式；

（3）若拋物線y=a1（x﹣m）2+n的任意一條“伴隨拋物線”的解析式為y=a2（x﹣h）2+k，請寫出a1與a2的關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，1），a為1；（2）y=﹣2（x﹣4）2+4；（3）a1=﹣a2，理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據點A是拋物線L1的頂點，可得點A的坐標，再把點A坐標代入拋物線L2中求得a的值；（2）由L3解析式可知點C坐標，進而知道點C關于對稱軸的對稱點D的坐標，設L4解析式：y=a（x﹣h）2+k，將頂點D的坐標及L3頂點坐標代入，求出系數a，得到以點D為頂點的L3的“伴隨拋物線”L4的解析式，于是求出L4的解析式；（3）根據拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得：（a1+a2）（m﹣h）2=0，可得a1=﹣a2．

試題解析：（1）∵點A是拋物線L1的頂點，拋物線L1：y=﹣x2+4x﹣3=-（x-2）2+1，∴此拋物線的頂點坐標為A（2，1），∵拋物線L2過點A（2，1），∴把點A坐標代入拋物線L2中，1=a（2﹣4）2﹣3，∴a=1，故答案為A（2，1），a=1；（2）由L3解析式：y=2x2﹣8x+4化成頂點式，得y=2（x﹣2）2﹣4，∵L3與y軸交于點C，∴C（0，4），對稱軸為直線x=2，頂點坐標（2，﹣4）．∴點C關于對稱軸x=2的對稱點D（4，4），設L4：y=a（x﹣h）2+k，將頂點D（4，4）代入得，y=a（x﹣4）2+4，再將點（2，﹣4）代入得，﹣4=4a+4，解得：a=﹣2，所以L3的伴隨拋物線L4的解析式為：y=﹣2（x﹣4）2+4；（3）a1=﹣a2，理由如下：∵拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，∴可以列出兩個方程，①+②得：（a1+a2）（m﹣h）2=0，∵伴隨拋物線的頂點不重合，∴a1=﹣a2