Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，C、D是半圓的三等分點，延長AC，BD交于點E．
（1）求∠E的度數；
（2）點M為BE上一點，且滿足EMEB=CE2 ， 連接CM，求證：CM為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C、D是半圓的三等分點，

∴ = = ，

連接OC、OD，如圖1所示：

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，

∵OA=OC=OD=OB，

∴△AOC、△DOB為正三角形，

∴∠EAB=∠EBA=60°，

∴∠E=60°

（2）證明：連接BC，如圖2所示：

∵EMEB=CE2，

∴ ，

∵∠E=∠E，

∴△CEM∽△BEC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ECB=90°，

∴∠EMC=∠ECB=90°，

∵∠AOC=∠DOB=60°，

∴OC∥BE，

∵∠EMC=90°，

∴∠OCM=90°，

∴OC⊥CM，

∴CM為⊙O的切線．

【解析】（1）由半圓的三等分點，得 = = ，連接OC、OD，則∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，證得△AOC、△DOB為正三角形，得出∠EAB=∠EBA=60°，即可得出結果；（2）連接BC，由 ，∠E=∠E，證得△CEM∽△BEC，由AB為⊙O的直徑，得出∠ACB=90°，∠ECB=90°，由△CEM∽△BEC得出∠EMC=∠ECB=90°，由∠AOC=∠DOB=60°，證得OC∥BE，證得∠OCM=90°，即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．