Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A（-3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標；

（3）如圖b，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3．（2）點P的坐標為：（-1，4）或（-1+2，-4）或（-1-2，-4）；（3）QD有最大值．

【解析】

試題分析：（1）把點A、C的坐標分別代入函數解析式，列出關于系數的方程組，通過解方程組求得系數的值；

（2）設P點坐標為（x，-x2-2x+3），根據S△AOP=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；

（3）先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設Q點坐標為（x，x+3），則D點坐標為（x，x2+2x-3），然后用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值．

試題解析：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得

，

解得．

故該拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3．

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=-x2-2x+3，則易得B（1，0）．

∵S△AOP=4S△BOC，

∴×3×|-x2-2x+3|=4××1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x-7=0，

解得x=-1或x=-1±2．

則符合條件的點P的坐標為：（-1，4）或（-1+2，-4）或（-1-2，-4）；

（3）設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（-3，0），C（0，3）代入，

得，

解得．

即直線AC的解析式為y=x+3．

設Q點坐標為（x，x+3），（-3≤x≤0），則D點坐標為（x，-x2-2x+3），

QD=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x=-（x+）2+，

∴當x=-時，QD有最大值．